§ 113. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Если начальная скорость брошенного тела направлена вверх под некоторым углом к горизонту, то в начальный момент тело имеет составляющие начальной скорости как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях (рис. 178).

Рис. 178. Траектория тела, брошенного под углом а к горизонту (в отсутствие сопротивления воздуха)

Задача отличается от рассмотренной в предыдущем параграфе тем, что начальная скорость не равна нулю и для движения по вертикали. Для горизонтальной же составляющей все сказанное остается в силе.

Введем координатные оси: ось у, направленную по вертикали вверх, и горизонтальную ось x, расположенную в одной вертикальной плоскости с начальной скоростью v0. Проекция начальной скорости на ось х равна v0cosa, а на ось у равна v0sina (при показанном на рис. 178 направление осей х и у обе проекции положительны). Ускорение тела равно g и, следовательно, все время направлено по вертикали вниз. Поэтому проекция ускорения на ось у равна —g, а на ось х — нулю.

Поскольку составляющая ускорения в направлении оси х отсутствует, проекция скорости на ось х остается постоянной и равной своему начальному значению v0cosa. Следовательно, движение проекции тела на ось х будет равномерным. Движение проекции тела на ось у происходит в обоих направлениях — вверх и вниз — с одинаковым ускорением g. Поэтому на прохождение пути вверх от произвольной высоты у до высоты подъема h затрачивается такое же время Dt, как и на прохождение пути вниз от высоты h до у. Отсюда следует, что симметричные относительно вершины А точки (например, точки В и С) лежат на одинаковой высоте. А это означает, что траектория симметрична относительно точки А. Но характер траектории тела после точки А мы уже выяснили в § 112. Это — парабола, которую описывает тело, летящее с горизонтальной начальной скоростью. Следовательно, все то, что мы говорили относительно траектории тела в предыдущем параграфе, в равной мере относится и к рассматриваемому случаю, только вместо «половины параболы» ACD тело описывает «полную параболу» OBACD, симметричную относительно точки А.

Проверить полученный результат можно также при помощи струи воды, вытекающей из наклонно поставленной трубки (рис. 179). Если позади струи поместить экран с


Рис. 179. Струя имеет форму параболы, тем более вытянутой, чем больше начальная скорость струи

заранее начерченными параболами, то можно увидеть, что струи воды также представляют собой параболы.

Высота подъема и расстояние, которое пройдет брошенное тело в горизонтальном направлении до возвращения на ту высоту, с которой тело начало свое движение, т. е. расстояние OD на рис. 178, зависят от модуля и направления начальной скорости v0. Прежде всего, при данном направлении начальной скорости и высота и горизонтальное расстояние тем больше, чем больше модуль начальной скорости (рис. 179).

Для одинаковых по модулю начальных скоростей расстояние, которое проходит тело в горизонтальном направлении до возвращения на первоначальную высоту, зависит от направления начальной скорости (рис. 180). При увеличении утла между скоростью и горизонтом это расстояние сначала увеличивается, при угле в 45° достигает наибольшего значения, а затем снова начинает уменьшаться.

Проведем расчет движения тела, брошенного вверх под углом а к горизонту с начальной скоростью v0 (рис. 178), Напомним, что проекция скорости тела на ось х постоянна

Рис. 180. При увеличении наклона струи, вытекающей с данной скоростью, расстояние, на которое она бьет, сначала увеличивается, достигает наибольшего значения при наклоне в 45°, а затем уменьшается

и равна v0 cosa. Поэтому координата х тела в момент времени t равна

(113.1)

Движение проекции тела на ось у будет сначала равнозамедленным. После того как тело достигнет вершины траектории А, проекция скорости vy станет отрицательной, т. е. одного знака с проекцией ускорения, вследствие чего начнется равноускоренное движение тела вниз. Проекция скорости на ось у изменяется со временем по закону

(113.2)

В вершине траектории А скорость тела имеет только горизонтальную составляющую, a vy обращается в нуль. Чтобы найти момент времени tA, в который тело достигнет вершины траектории, подставим в формулу (113.2) tA вместо t и приравняем получившееся выражение нулю:

(113.3)

Определяемое формулой (113.3) значение tA дает время, за которое брошенное тело достигает вершины траектории. Если точка бросания и точка падения тела лежат на одном уровне, то все время полета tпол будет равно 2tA:

(113.4)

Умножив vx на время полета tпол, найдем координату х точки падения тела, т. е. дальность полета:

(113.5)

Из этой формулы видно, что дальность полета будет максимальной в случае, когда 2 a =90°, т. е. при a =45° (что уже указывалось выше).

Согласно формулам (22.1) и (113.2) координата у изменяется со временем по закону

(113.6)

Подставив в эту формулу tA вместо t , найдем координату у, отвечающую вершине траектории А, т. е. высоту подъема тела h :

Приведя подобные члены, получим

(113.7)

Высота растет с увеличением a и достигает наибольшего значения, равного v20l2g, при a=90°, т. е. при бросании тела вертикально вверх.

113.1. Камень, брошенный с земли вверх под углом к горизонту, падает обратно на землю на расстоянии 14 м. Найти горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости камня, если весь полет продолжался 2 с. Найти наибольшую высоту подъема камня над землей. Сопротивлением воздуха пренебречь.

113.2. Пожарный направляет струю воды на крышу дома высоты 15 м. Над крышей дома струя поднимается на 5 м. На каком расстоянии от пожарного (считая по горизонтали) струя упадет на крышу, если она вырывается из шланга со скоростью 25 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

По материалам сайта: http://www.physel.ru