Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над н

Примеры решения задач

Задача 1.

Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?

Решение

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось

;

с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости vy =0, а :


. (1)

Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v0 y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось:

(2)

и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения:

, (3)

. (4)

Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется, так как . Вычтем почленно (4) из (3), и с учетом (2) получим:

. (5)

Из (5) находим v0 y. .

Далее из (1) находим высоту подъема: .

Ответ: h =2.99 м.

Задача 2.

Уравнение движения тела имеет вид x=5t+0.8t 3. Определить ускорение и скорость тела в начальный момент времени, а также среднее ускорение за первые 5 секунд движения.

Решение

Поскольку , то

. (1)

Далее, из получим

. (2)

Подставив в (1) и (2) t=0, найдем v0 =5 м/с, а 0 =0 м/с 2 .

Среднее ускорение находим по определению , то есть , где скорость в момент времени t=5c находим из (1): vt =v5 =5+2.4. 5 2 =65 м/с. Окончательно

Ответ: а 0 =0 м/с 2 ; v0 =5 м/с; а ср. =12 м/с 2 .

Задача 3.

Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки окружности диска для момента времени 10 с от начала движения, если радиус окружности 0.2 м, а угол между осью ОХ и радиус-вектором точки изменяется по закону: ?=3–t+0.2t 3 .

Решение

По формулам и находим угловую скорость и угловое ускорение точки: ?= –1+0.2. 3t 2. ?=0.6. 2t. Из формулы связи углового и линейного тангенциального ускорения найдем: a ? =R. ?=R. (0.6. 2t)=1.2Rt=1.2. 0.2. 10=24 м/с 2 .

Нормальное ускорение найдем из формулы , где скорость v=R. ?=R. (–1+0.2. 3t 2 )=R. (0.6t 2 –1). Подставим численные значения: v=0.2. (0.6. 10 2 –1)=11.8 м/с;

Теперь находим полное ускорение: .

Задача 4.

С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

Решение

На ракету действует сила притяжения Земли, которая по закону всемирного тяготения равна:

,

где m – масса ракеты, МЗ – масса Земли, r=RЗемли +h – расстояние до центра Земли. Элементарная работа против силы тяжести при перемещении ракеты вверх на dr равна: dA=Fdr; полная работа при перемещении ракеты от поверхности Земли до высоты h рассчитывается интегрированием:

.

По закону сохранения энергии кинетическая энергия, которой обладала ракета на Земле, будет израсходована на работу против силы притяжения: . Тогда получим уравнение:

.

После сокращения на m и подстановки r=RЗемли +h получим выражение для высоты:

.

Здесь учтено, что - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Ответ: h =1.59 км.

Задача 5.

Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузы массой 0.1 кг и 0.11 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы? Найти силы натяжения шнура по обе стороны блока. Масса блока 0.4 кг.

Решение

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, для обоих грузиков (рис.1):

Здесь учтено, что модули ускорений обоих грузов одинаковы, так как шнур считаем нерастяжимым.

За положительное направление вращения блока примем вращение по часовой стрелке; запишем для него закон динамики вращательного движения:

где I – момент инерции сплошного диска (или цилиндра):

; (4)

? – угловое ускорение блока, связано с линейным ускорением обода блока и шнура (предполагаем, что проскальзывания нет):

, (5)

здесь R – радиус блока; модули моментов сил натяжения шнура относительно оси вращения:

Решая систему уравнений (1-7), получим:

,

откуда находим ускорение:

,

а затем из (1) и (2) – силы натяжения шнура:

Ответ: а =0.24 м/с 2 ; T1 = 1.0 H; T2 =1.05 Н.

Задача 6.

Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения со скоростью 10 см/с, ударяется о стенку и откатывается от нее со скоростью 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе.

Решение

Будем считать стенку массивной и неподвижной. Тогда по закону сохранения энергии выделившаяся при ударе теплота равна изменению механической энергии шара:

Полная кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, так как качение тела является суперпозицией этих двух движений:

. (2)

Так как качение происходит без проскальзывания, то линейная скорость движения центра масс и угловая скорость вращения связаны соотношением:

v=?R. (3)

где R – радиус шара, I – момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс:

. (4)

Подставив (3) и (4) в (2), получим формулу для энергии катящегося шара:

. (5)

Аналогично, начальная кинетическая энергия шара:

. (6)

Подставляем (5) и (6) в (1) и получаем искомую теплоту:

Ответ: Q=2.52 мДж.

Задача 7.

Однородный медный стержень длиной 1 м равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разорвется?

Решение

Найдем зависимость силы натяжения F стержня от координаты x. На расстоянии x от оси вращения выделим фрагмент стержня бесконечно малой длины dx и массой

На него действуют силы: сила натяжения стержня F – вверх, сила натяжения стержня F + dF (со стороны нижней части стержня) – вниз и сила тяжести gdm – тоже вниз (рис.2). Запишем второй закон Ньютона для массы dm :

где а =? 2 x – центростремительное ускорение. Отсюда

или:

.

Зависимость F(x) теперь можно найти, интегрируя предыдущее выражение или найдя первообразную от выражения () и учтя очевидное граничное условие: F(l )=0:

.

Максимальное натяжение будет при x=0:

,

.

Решаем полученное уравнение относительно угловой скорости и затем находим частоту:

.

Ответ: ?=38 Гц.

Задача 8.

Решение

Колебания груза в масле являются затухающими, их круговая частота:

,

где – круговая частота собственных незатухающих колебаний; – коэффициент затухания. Тогда частота затухающих колебаний .

Ответ: ?. =2.51 Гц.

Задача 9.

Шуму на оживленной улице соответствует уровень громкости 70 фон, крику – 80 фон. Какой будет уровень громкости звука, полученного в результате сложения крика и шума улицы? Считать частоту равной 1 кГц.

Решение

Для частоты 1000 Гц уровень громкости по определению совпадает с уровнем интенсивности, выраженному в децибелах, тогда .

Выразим интенсивность звука: , тогда получим для шума и для крика соответственно интенсивности звука: ; . Интенсивность результирующего звука можно найти сложением интенсивностей двух звуков, поскольку интенсивность – энергетическая характеристика звуковой волны и характеризует среднюю плотность потока энергии, переносимой волной:

Теперь можно найти уровень громкости по определению:

.

Ответ: Е =80.4 фон.

Задача 10.

Импульс релятивистской частицы массой m равен m С. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз при этом возрастет энергия частицы: 1) кине­тическая; 2) полная?

Решение

Воспользуемся формулой взаимосвязи импульса и полной энергии: . Тогда получим для двух состояний частицы:

,

,

откуда . Кинетическая энергия равна разности полной и энергии покоя: . Тогда

,

.

И, наконец: .

Ответ: ; .

Задача 11.

В трубе с внутренним диаметром 3 см течет вода. Оп­ределить максимальный массовый расход воды при ламинарном течении. Вязкость воды 0.001 Па. с. Ламинарность движения жидкости сохраняется при числе Рейнольдса.

Решение

Массовый расход жидкости – это, аналогично объемному расходу, масса жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени:

.

. (1)

Считаем течение ламинарным вплоть до критического числа Рейнольдса, тогда

, (2)

где кинематическая вязкость связана с динамической:

, (3)

а средняя скорость движения жидкости v позволит найти путь, пройденный частицами воды за время dt. dl = vdt и объем протекшей через поперечное сечение S за это время жидкости:

Решая систему уравнений (1-4), получим: , далее . Наконец, выразим площадь сечения трубы через диаметр: , тогда

.

Ответ: Q m =0.071 кг/с.

По материалам сайта: http://auto-dnevnik.com