1. Кинематика. Равномерное движение. Средняя скорость
19 _Кинематика. Сборник задач по физике. Грабцевич В. И.
1. Кинематика. Равномерное движение. Средняя скорость.
1.1. В течение какого времени пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть встречный поезд, идущий со скоростью 36 км/ч, если его длина равна 150 м? [6 c]
1.2. По двум параллельным путям в одном направлении идут два поезда: товарный длиной 630 м со скоростью 48,6 км/ч и электричка длиной 120 м со скоростью 102,6 км/ч. В течение какого времени электричка будет обгонять товарный поезд? [50 c]
1.3. Катер идет по течению реки из пункта A в пункт B 3 часа, а обратно – 6 часов. За какое время проплывет расстояние AB спасательный круг? [12 ч]
1.4. Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии 100 км друг от друга, курсирует катер. Катер проходит это расстояние за 4 ч, а обратно – за 10 ч. Определите скорость течения реки. [7,5 км/ч; 17,5 км/ч]
1.5. Из середины колонны автомобилей, движущейся со скоростью 10 км/ч, одновременно выезжают два мотоциклиста, один в голову колонны, а другой – в хвост. С какой скоростью двигались мотоциклисты, если их скорости были одинаковыми, а время движения одного мотоциклиста оказалось вдвое меньше, чем другого? [30 км/ч]
- Современная механизированная штукатурка в Москве позволяет существенно ускорить процесс отделки стен и потолков в строительных проектах.
- С помощью современных механизированных систем штукатурки возможно достичь высокой точности и качества отделки, сократив при этом затраты на ручной труд и материалы.
- Механизированная штукатурка в Москве используется как в жилищном строительстве, так и в коммерческих проектах, позволяя создать эффективное решение для любого проекта отделки.
1.6. Рыбак плывет вверх по реке. Проезжая под мостом, он уронил в воду запасное весло. Через час он обнаружил потерю и, повернув назад, догнал весло в 6 км ниже моста. Какова скорость течения реки, если рыбак все время греб одинаково? [3 км/ч]
1.7. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек. Во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью в три раза большей, он насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы человек на неподвижном эскалаторе? [100]
1.8. Спортсмены бегут колонной длиной L с одинаковой скоростью v. Навстречу бежит тренер со скоростью u u ). [? = arcsin(u /v )]
1
.29. Две вертикальные стенки образуют двугранный угол равный 15° (рис. 1.4). В этот угол параллельно одной из стенок влетает маленький шарик. Сколько столкновений cделает шарик прежде чем начнет двигаться в обратном направлении? Столкновения со стенками упругие. [7]
1.30. Стержень изготовлен из большого числа чередующихся отрезков, изготовленных из двух разных материалов. Длина отрезков из одного материала равна L 1. a скорость звука в них равна v 1. Для отрезков из другого материала длина и скорость звука равны L 2 и v 2. Какова средняя скорость звука в стержне? [ = v 1 v 2 (L 1 + L 2 )/(L 1 v 2 + L 2 v 1 )]
2. Равноускоренное движение
2.1. Скорость автомобиля за 20 с уменьшилась с 20 м/с до 10 м/с. С каким средним ускорением двигался автомобиль? [–0,5 м/с 2 ]
2.2. Тело, свободно падающее из состояния покоя, в конце первой половины пути достигло скорости 20 м/с. С какой высоты падало тело? [40 м]
2.3. Определить начальную скорость и ускорение автомобиля, если, двигаясь равноускоренно, за первые 3 с он прошел путь 18 м, а за первые 5 с – 40 м. [3 м/с; 2 м/с 2 ]
2.4. Во сколько раз необходимо увеличить начальную скорость вертикально вверх брошенного тела, чтобы высота подъема увеличилась вдвое? [в 
раз]
2.5. Тело свободно падает с высоты 540 м. Разделите эту высоту на три части, на прохождение которых тело затрачивает одинаковое время. [60 м; 180 м; 300 м]
2.6. От движущегося поезда отцепился последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же скоростью. Найти отношение расстояний, пройденных поездом и вагоном к моменту остановки вагона. Движение вагона равнозамедленное. [2]
2.7. Тело, двигаясь равноускоренно, проходит последовательно два одинаковых отрезка пути длиной 10 м за времена 1,06 с и 2,2 с. Найти начальную скорость и ускорение тела. [–3 м/с 2 ; 11 м/с]
2.8. Двигаясь равноускоренно, тело проходит некоторое расстояние. Скорость тела в начале пути v 1. а в конце – v 2. Определить среднюю скорость движения тела. [ = (v 1 + v 2 )/2]
2.9. Бросив камень в колодец, наблюдатель через время t услышал всплеск воды. Определить глубину колодца. Скорость звука в воздухе равна c. [h = (c /g )(gt + c – (c (c + 2gt )) 1/2 ]
2.10. Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, тело проходит некоторое расстояние. Найти отношение средней скорости тела на второй половине пути к средней скорости на первой половине пути. [
]
2.11. Тело движется равноускоренно из состояния покоя в течение некоторого времени. Найти отношение средних скоростей движения тела за вторую и за первую половины времени движения. [
]
2
.12. Двигаясь равноускоренно, тело прошло за первую секунду движения расстояние 1 м, за вторую – 2 м, за третью – 3 м и т. д. Определить начальную скорость и ускорение тела. [0,5 м/с; 1 м/с 2 ]
2.13. На рис. 2.1 приведена зависимость скорости тела от координаты. Где ускорение тела больше: в точке 1 или в точке 2? [2]
2.14. Тело, пущенное вверх вдоль наклонной плоскости со скоростью 1,5 м/с, вернулось обратно со скоростью 1 м/с. Найти среднюю скорость тела на всем пути. Вверх и вниз тело двигалось с постоянным ускорением. [0,6 м/с]
2.15. Два тела одновременно брошены с одинаковыми скоростями v o. одно вниз с высоты H. другое вверх. На какой высоте тела встретятся? [
]
2.16. Тело движется равноускоренно из состояния покоя. Найти отношение скоростей тела в конце четвертого и в конце первого метров пути. [
]
2.17. Тело начинает двигаться равноускоренно из состояния покоя. Спустя время t o ускорение тела меняет знак на противоположный, оставаясь прежним по модулю. Через какое время после начала движения тело пройдет через исходную точку? [t = t o (2 + (2) 1/2 ]
2.18. Тело, движущееся с ускорением 1 м/с 2. в некоторый момент времени проходит через точку A. имея скорость 10 м/с. На каком расстоянии от точки A находилось тело секунду назад? [на расстоянии 9,5 м от точки A ]
2.19. Отходящий от станции поезд на первом километре пути увеличил свою скорость на 10 м/с, а на втором – на 5 м/с. На каком километре среднее ускорение поезда было больше? [на втором]
2.20. Тело совершает колебательное движение, в течение времени t ускорение тела равно а, затем в течение того же времени t ускорение равно – a , затем опять a и т. д. Найти расстояние между крайними положениями тела. [
]
2.21. Тело движется равноускоренно из состояния покоя с ускорением a . Через время t ускорение тела становится отрицательным. При какой величине нового ускорения тело через время t пройдет через исходную точку? [
]
2.22. Если мимо стоящего на перроне пассажира первый вагон тронувшегося поезда проходит за 10 с, то за какое время мимо него пройдет весь поезд, состоящий из 16-ти вагонов? Поезд движется равноускоренно. [40 c]
2.23. Поезд трогается с места и равноускоренно проходит мимо неподвижного пассажира. При этом первый вагон прошел мимо него за время t 1. а последний – за время t 2. За какое время мимо пассажира прошел весь поезд, если первоначально пассажир стоял у головы поезда? [
]
2.24. Тело движется из состояния покоя равноускоренно. Во сколько раз путь, пройденный телом за восьмую секунду движения, больше пути, пройденного за третью секунду? [
]
2.25. Торможение поезда началось на расстоянии 200 м от станции. На каком расстоянии от станции окажется поезд, идущий со скоростью 30 м/с, через 7 с после начала торможения с ускорением –5 м/с 2. [110 м]
2
.26. Расстояние между двумя свободно падающими каплями через время 2 с после начала падения второй капли было 25 м. На сколько позднее первой начала падать вторая капля? [1 c]
2.27. Равнозамедленно движущееся тело проходит два последовательных одинаковых участка длиной L за времена t и 2t. Найти скорость тела в начале первого участка и ускорение.[
]
2.28. Тело движется вдоль прямой с ускорением, зависимость которого от времени показана на рис. 2.2. В какой момент времени скорость тела максимальна? [в момент t 3 ]
2.29. С высоты 100 м свободно падает камень. Через 1 c с той же высоты вертикально вниз бросают еще один камень. С какой скоростью необходимо бросить второй камень, чтобы оба камня упали на землю одновременно? [11 м/с]
2.30. Материальная точка начала движение вдоль оси x с постоянным ускорением –2 м/с 2. В момент времени 10 c величина проекции ускорения скачком приняла значение 3 м/с 2. а в момент 15 c обратилась в 0. Определить координату и путь, пройденный телом, через 20 с после начала движения. Начальная координата x o = 0. [–187,5 м; 187,5 м]
2.31. В момент t = 0 точка вышла из начала координат вдоль оси x. Ее скорость меняется по закону, v = v o (l – t /T ), где v o – вектор начальной скорости (v o = 10 м/с), а T = 5 с. Найти координату точки в момент t 1 = 6 с и путь, пройденный точкой за первые 8 с движения. [24 м; 34 м]
2.32. Ракета, имея начальную скорость 4 км/с, движется с постоянным ускорением в течение времени 1000 с и в последнюю секунду проходит расстояние 1 км. Определить ускорение ракеты. [–3 м/с 2 ; 1 c]
2.33. Тело, брошенное вертикально вниз со скоростью 10 м/с, на первую половину пути потратило вдвое большее время, чем на вторую. С какой высоты было брошено тело? [240 м]
2.34. Автомобиль равноускоренно проходит расстояние AB. Причем его скорость в точке A равна v 1. а в точке B – v 2. Какова скорость автомобиля в середине участка AB. [
]
2.35. Тело свободно падало (v o = 0) с некоторой высоты со средней скоростью 10 м/с. С какой высоты падало тело? [20 м]
2.36. Закон движения точки: x (t ) = 2t – t 2 /2. Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени от 1 с до 3 с. [0,5 м/с]
2.37. Тело движется вдоль оси x так, что его скорость меняется по закону: v = ?(x ) 1/2 (? = const). Определить зависимость скорости тела от времени и среднюю скорость за первые S метров пути. Начальная координата x o = 0.
[
]
2.38. При свободном падении средняя скорость тела за последнюю секунду падения вдвое больше, чем за предыдущую. С какой высоты падало тело? [31,25 м]
2.39. Тело движется равноускоренно. Начальная скорость равна 0,5 м/с, а ускорение равно 1 м/с 2. Какое расстояние проходит тело за n –ю секунду движения? [n метров]
2.40. Приближаясь к астероиду со скоростью v. звездолет послал вперед короткий звуковой сигнал и через время t получил отраженный сигнал. С каким минимальным ускорением должен начать тормозить звездолет, чтобы не врезаться в астероид? Скорость света равна c. [
]
2.41. Плита поднимается с постоянной скоростью 5 м/с. Мяч начал падать когда расстояние между ним и плитой было равно, 5м. Найти время между последующими упругими ударами мяча о плиту. [2,24 c]
2.42. Мяч, брошенный мальчиком вниз со скоростью v. после упругого удара о пол достигает потолка зала. С какой скоростью должен мальчик бросить вниз мяч с подставки высотой h. чтобы он опять достиг потолка? [
]
2.43. Поезд начинает тормозить и останавливается, пройдя путь 75 м. Найти начальную скорость поезда, если за предпоследнюю секунду торможения он прошел 2,25 м. [15 м/с]
2.44. Двигаясь со скоростью 10 м/с, автомобиль начинает тормозить и останавливается через 2 секунды, пройдя расстояние 8 м. С каким ускорением тормозил автомобиль? [данные задачи взаимоисключающие]
2.45. Падающее с вершины башни тело пролетело расстояние L. когда второе тело начало падать из точки, расположенной на h ниже вершины башни. Оба тела достигли земли одновременно. Определить высоту башни. [
]
2.46. Летающая тарелка стартует с постоянным ускорением a , забыв одного из инопланетян. В течение какого времени после взлета оставшемуся инопланетянину имеет смысл звать тарелку назад, если скорость звука в воздухе равна c. [
]
2.47. Ракета взлетает вертикально с постоянным ускорением a . Люди, стоящие у места старта, через время ? услышали звук выключения двигателя. Определить скорость ракеты в момент выключения двигателя, если скорость звука в воздухе равна c. [
]
2.48. Летящий вертикально вверх снаряд взорвался на максимальной высоте. Осколки снаряда выпадали на землю в течение времени ?. Найти максимальную скорость осколков момент взрыва. [
]
2.49. Велосипедист, двигаясь с постоянной скоростью 4 м/с, проезжает мост. Через 3 мин этот мост проезжает мотоциклист, имея скорость 19 м/с и сразу после моста начинает тормозить с ускорением 0,15 м/с 2. Через какое время после начала торможения и на каком расстоянии от моста мотоциклист догонит велосипедиста? [80 c; 1040 м]
2.50. Точка движется по закону: x (t ) = t 2 + 8t – 9, где x измеряется в метрах, a t – в секундах. Найти скорость точки в начале координат. [10 м/с]
2.51. Два тела движутся с постоянными ускорениями. В момент t = 0 скорости тел были равны: 10 м/с и 20 м/с и направлены навстречу друг другу, а ускорения направлены в противоположные стороны и равны: 2 м/с 2 и 1 м/с 2 соответственно. При каком максимальном начальном расстоянии между телами они еще встретятся? [150 м]
2.52. Летающая тарелка стартует с поверхности земли вертикально вверх с постоянным ускорением a . В процессе подъема тарелка излучает короткие звуковые сигналы и регистрирует их отражение от поверхности земли. Через какое время после старта будет послан последний сигнал, отражение которого еще можно зарегистрировать? Скорость звука равна c. [
]
2.53. Шайбу толкнули вверх вдоль наклонной плоскости со скоростью 10 м/с. Обратно она вернулась со скоростью 5 м/с. С какой скоростью вернется шайба, если на половине высоты, до которой она поднялась, поставить стенку, от которой шайба отражается без потери скорости? [7,9 м/с]
2.54. Два мяча брошены одновременно навстречу друг другу с одинаковыми скоростями: один вертикально вверх с поверхности земли; другой вертикально вниз с высоты Н. Найти эти скорости, если к моменту встречи один из мячей пролетел расстояние 1/3H. [
]
3. Свободное движение тела, брошенного под углом к горизонту
3.1. С башни высотой 45 м горизонтально брошен камень со скоростью 10 м/с. На каком расстоянии от башни он упадет на землю? [35 м]
3.2. Тело, брошенное под углом 45° к горизонту, через 2 c имело вертикальную составляющую скорости 10 м/с. Определить дальность полета тела. [180 м; 20 м]
3.3. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определить скорость тела в верхней точки траектории. [5 м/с]
3.4. В мишень с расстояния 20 м сделано два выстрела при горизонтальной наводке винтовки. Скорость первой пули 100 м/с, а второй – 200 м/с. Определить расстояние между пробоинами в мишени. [15 см]
3.5. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю через 2 c. Чему равна дальность полета камня, если за время полета его максимальная скорость была вдвое больше минимальной? [12 м]
3.6. Тело брошено горизонтально со скоростью 4 м/с. При этом оказалось, что дальность его полета равна высоте бросания. С какой высоты бросили тело? [3,2 м]
3.7. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через 10 c он упал на расстоянии 50 м от вышки. Определить начальную скорость камня. [5 м/с]
3.8. Из горизонтально установленной винтовки стреляют в мишень, расположенную на расстоянии 300 м от винтовки. При этом пуля попадает в центр мишени. На сколько нужно передвинуть мишень по горизонтали, чтобы пуля попала в нее на 25 см выше центра? Скорость вылета пули 600 м/с. [31 м]
3.9. Камень брошен горизонтально со скоростью 15 м/с. Через какое время вектор его скорости будет направлен под углом 45° к горизонту? [1,5 c]
3.10. Камень брошен под углом 45° к горизонту со скоростью 10 м/с. Через какое время вектор его скорости будет направлен под углом 30° к горизонту? [0,3 c; 1,1 c]
3.11. Тело с высоты 4 м бросают в горизонтальном направлении так, что оно подлетает к земле под углом 45°. Какое расстояние по горизонтали пролетело тело? [8 м]
3
.12. С обрыва в горизонтальном направлении бросают камень со скоростью 27 м/с. Через какое время касательное ускорение камня будет равно нормальному? [2,7 c]
3.13. Миномет установлен на расстоянии 8000 м от вертикального обрыва высотой 105 м. Как близко к основанию обрыва (рис. 3.1) могут «подобраться» мины, если их начальная скорость 300 м/с? [15 м]
3.14. Тело брошено со скоростью v o. под углом ? к горизонту. Определить радиус кривизны траектории в точке бросания и в точке максимального подъема. [R 1 = v o 2 /g cos?; R 2 = v o 2 cos?/g]
3.15. Тело брошено под углом к горизонту. При каком угле бросания радиус кривизны траектории в точке максимального подъема будет равен высоте этой точки? [54,7 o ]
3.16. На какое максимальное расстояние можно бросить мяч в спортивном зале высотой 8 м, если начальная скорость мяча 20 м/с? Рассмотреть случай H = 15 м? [39 м; 39 о ; 40 м]
3.17. Какую максимальную площадь можно полить из шланга, если скорость воды на выходе из шланга 10 м/с? [314 м 2 ]
3.18. С вершины горы горизонтально брошен камень, который упал на расстоянии L от вершины. С какой скоростью бросили камень, если склон горы составляет угол ? с горизонтом? [
]
3.19. Тело, брошенное со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту, дважды проходит высоту 1,6 м. На каком расстоянии находятся точки прохождения этой высоты? [7 м]
3.20. Из шланга, лежащего на земле, под углом 45° к горизонту вытекает струя воды и падает на землю на расстоянии 10 м от шланга. Какая масса воды находится на высоте выше 2 м, если сечение выходного отверстия шланга 10 см 2. [6,3 кг]
3.21. Тело брошено с обрыва со скоростью v o под углом ? к горизонту. Через какое время направление скорости тела станет перпендикулярным направлению начальной скорости? [
]
3.22. Тело брошено со скоростью v o под углом ? к горизонту. Через какое время радиус-вектор тела, проведенный из точки бросания, и вектор его скорости будут перпендикулярны? [
]
3.23. Под каким углом к горизонту необходимо бросить тело, чтобы равенство его кинетической и потенциальной энергий достигалась в высшей точке траектории? [45 o ]
3
.24. Тело брошено со скоростью v o. Под углом ? к горизонту. На какой высоте кинетическая энергия тела будет равна потенциальной? [
; при ? ? 45 о ]
3.25. В цилиндрический сосуд налита вода до уровня Н. На высоте H /3 от дна в стенке проделано маленькое отверстие. На какой высоте от дна надо проделать еще одно отверстие, чтобы обе струи падали в одну точку (рис. 3.2)? Скорость вытекания струи отверстия равна v = (2gh ) 1/2 , где h – высота уровня воды над отверстием. [h 2 = 2H /3]
3.26. В цилиндрический сосуд налита вода до уровня H. На какой высоте от дна сосуда в боковой стенке необходимо проделать отверстие, чтобы дальность полета струи была максимальной? [h = H /2]
3.27. Бросив камень под углом к горизонту, необходимо поразить цель, находящуюся на высоте h и на расстоянии L от места бросания. С какой минимальной скоростью необходимо бросить камень? [
]
3
.28. Тело брошено под углом ? к горизонту. При этом отношение максимальной высоты подъема к дальности полета H /L = ?. Каким будет отношение H 1 /L 1. если тело бросить под углом ?1 = 90° – ? к горизонту? [
]
3.29. На горизонтальной поверхности лежит полусфера радиусом R (рис. 3.3). С какой минимальной скоростью v o и под каким углом к горизонту ? необходимо бросить камень, чтобы он перелетел через полусферу, не задев ее? [
; ? = 54,7 o ]
3.30. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,1 км друг от друга. Через сколько времени снаряд, вылетевший с начальной скоростью 240 м/с, достигнет цели? [24,6 c; 42,6 c]
3.31. Человек находится на расстоянии 5 м от вертикальной стены. С какой минимальной скоростью человек должен бросить мяч, чтобы после упругого столкновения он вернулся обратно? [10 м/с]
3.32. С какой минимальной скоростью необходимо бросить мяч, чтобы он перелетел через дом высотой 25 м и шириной 12,5 м? [25 м/с]
3.33. Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень, чтобы он все время удалялся от точки бросания? [? > 70,5 o ]
3.34. Бросив камень под углом 45° к горизонту, необходимо попасть в цель, находящуюся на расстоянии 12 м от места бросания и на высоте 2 м. С какой скоростью необходимо бросить камень? [12 м/с]
3.35. Самолет летит на высоте 1500 м со скоростью 200 м/с. Из орудия стреляют по самолету когда он находится точно над орудием. Под каким углом к горизонту следует стрелять, если начальная скорость снаряда 900 м/с? [? ? 77,2 o ]
3
.36. По горизонтальной поверхности с постоянной скоростью едет тележка, верхняя плоскость которой наклонена к горизонту под углом 15°. На тележку с высоты 15 м без начальной скорости падает маленький шарик (рис. 3.4). При какой скорости тележки шарик, после упругого столкновения с тележкой упадет на нее в ту же точку? Будут ли последующие падения шарика попадать в ту же точку? Высотой тележки пренебречь. [10 м/с; не будут]
3.37. Лодка плывет со скоростью 10 м/с параллельно берегу на расстоянии 5 м от берега. Мальчик бросает камень в лодку в момент когда она проплывает мимо него. С какой скоростью мальчик должен бросить камень, если угол бросания 45° к горизонту? [14,5 м/с]
3.38. Тело, брошенное с 10-метровой высоты, упало на землю через 2 с на расстоянии 3 м по горизонтали от места бросания. С какой скоростью бросили тело? [5,25 м/с]
3.39. Самолет летит горизонтально на высоте h со скоростью v o. Летчик должен сбросить груз в цель, находящуюся впереди самолета. Под каким углом к горизонту летчик должен видеть цель в момент сбрасывания груза? [
]
3.40. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью v o. Найти скорость тела на высоте h. [
]
3.41. Два тела бросают из одной точки в одном направлении под углом 30° к горизонту с интервалом 2 секунды с одинаковой скоростью 60 м/с. Через какое время после бросания первого тела расстояние между телами в процессе полета будет минимальным? [4 c]
3.42. Мяч, брошенный одним мальчиком другому под углом к горизонту со скоростью 20 м/с, достиг высшей точки траектории через секунду. На каком расстоянии находятся мальчики? [34,6 м]
3.43. С вышки из двух разных точек одновременно горизонтально брошены два камня с одинаковыми скоростями 5 м/с. Разность высот точек бросания равна 10 м, а разность расстояний от точек падения до вышки равна 5 м. С какой высоты бросили каждый камень? [1,25 м; 11,25 м]
3.44. Мяч, брошенный под углом 60° к горизонту, через 1 с попадает в точку, находящуюся на высоте 1 м. Найти расстояние, которое пролетел мяч по горизонтали. [L = (h + gt 2 /2)ctg?]
3.45. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, равна 10 м, а время полета 5 с. Определить наибольшую высоту подъема тела, угол бросания и радиус кривизны траектории в точке наибольшего подъема. [31,25 м; 85,4 о ; 0,4 м]
3.46. Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. На какой высоте вектор его скорости будет направлен под углом 30° к горизонту? [1,67 м]
3.47. Самолет летит горизонтально по окружности радиусом 1 км на высоте 1,5 км с постоянной скоростью 100 м/с. С интервалом времени 10,5 c с самолета сбрасывают два мешка. На каком расстоянии друг от друга мешки упадут на землю? [2 км]
3.48. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, равна 10 м, а время полета 5 с. Определить наибольшую высоту подъема, угол бросания тела и радиус кривизны траектории в точке наибольшего подъема.
4. Кинематика движения по окружности
4.1. Радиус рукоятки колодезного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на который наматывается трос. Какова линейная скорость конца рукоятки, если ведро с глубины 10 м поднимается за 20 с? [1,5 м/с]
4.2. С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы центростремительное ускорение равнялось ускорению свободного падения? [20 м/с]
4.3. Маховик делает 3 оборота в минуту. Найти угловую скорость вращения маховика. [0,314 с –1 ]
4.4. Угловая скорость вращения лопастей колеса ветродвигателя 6 с –1. Найти центростремительное ускорение концов лопастей, если их линейная скорость равна 20 м/с. [120 м/с 2 ]
4.5. Период вращения платформы карусельного станка 3,14 с. Найти центростремительное ускорение крайних точек платформы, если ее диаметр 5 м. [10 м/с 2 ]
4.6. Тело движется по окружности с постоянной скоростью 10 м/с. Определить изменение скорости тела за четверть периода; полпериода; период. [14,15 м/с; 20 м/с; 0]
4.7. Минутная стрелка часов в 1,5 раза длиннее часовой. Во сколько раз линейная скорость конца минутной стрелки больше конца часовой? [в 18 раз]
4.8. Какова скорость поезда, если его колеса, имеющие диаметр 1,2 м, делают 160 оборотов в минуту? [10 м/с]
4.9. Определить скорость и ускорение точек поверхности Земли, находящихся на широте 30°. Радиус Земли равен 6400 км. [400 м/с; 2,5 см/с 2 ]
4.10. Стержень длиной 50 см вращается вокруг оси перпендикулярной стержню. При этом линейные скорости концов стержня равны 10 см/с и 15 см/с. Найти угловую скорость вращения стержня. [0,5 м/с]
4.11. Через блок радиусом R = 50 мм, вращающийся вокруг горизонтальной оси, перекинута нить. Грузы, привязанные к концам нити, движутся с постоянной скоростью v = 20 см/с друг относительно друга. Определить угловую скорость вращения блока. [2 Гц]
4.12. Горизонтальная платформа радиусом 2 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 2,5 об/мин. По краю платформы шагает человек со скоростью 1 м/с относительно платформы. Определить ускорение человека, если он шагает; а) в направлении вращения; б) в противоположном направлении. [1,15 м/с 2 ; 0,12 м/с 2 ]
4
.13. Цилиндр радиусом R зажат между двумя параллельными рейками (рис. 4.1). Рейки движутся параллельно самим себе с постоянными скоростями v 1 и v 2. Определить угловую скорость вращения цилиндра и линейную скорость его центра. Проскальзывания нет. [
]
4
.14. Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается с частотой 2000 об/мин. Скорость самолета относительно земли 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера. Что представляет собой траектория движения этой точки? [316 м/с]
4
.15. Скорость точки A вращающегося диска равна 50 см/с, а скорость точки B. находящейся на 10 см ближе к оси диска, равна 40 см/с. Определить угловую скорость вращения диска. [1 с –1 ]
4.16. По горизонтальной дороге без проскальзывания катится тонкий обруч радиуса R со скоростью v o (рис. 4.2). Найти зависимость скорости точек обруча от угла ?(v (?)).
[
]
4
.17. Диск катится без проскальзывания с постоянной скоростью v по горизонтальной дороге. Радиус диска равен R. Найти геометрическое место точек на диске, скорости которых в данный момент времени равны v. [окружность радиусом R с центром в точке касания]
4.18. Два диска связаны между собой шкивом. Левый диск крутится с угловой скоростью ?. Определить линейную скорость точки A правого диска (рис 4.3). [
]
4
.19. Кривошип OA. вращаясь с угловой скоростью ? = 2,5 с –1. приводит в движение колесо радиусом r = 5 см, катящееся по неподвижному колесу радиусом R = 15 см. Найти скорость точки B (рис. 4.4). [
см/с]
4.20. Кривошип OA. вращаясь вокруг точки O. приводит в движение колесо 1 радиусом R = 20 см, катящееся по внутренней поверхности круга 2. Колесо 1, соприкасаясь с колесом 3, заставляет его вращаться вокруг точки O (рис. 4.5). Во сколько раз угловая скорость колеса 3 больше угловой скорости кривошипа, если радиус колеса 3 равен r = 10 см? [
]
4
.21. Точка движется по окружности со скоростью v = at. где a = 0,5 м/с 2. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет 0,1 длины окружности после начала движения. [
м/с 2 ]
4.22. Если колесо катится по горизонтальной дороге без проскальзывания, то траекторией любой точки обода колеса является линия, называемая циклоидой (рис. 4.6). Определить радиус кривизны циклоиды в верхней точке, если радиус колеса R. [4R ]
4
.23. Малый радиус несущей части трамвайного колеса равен r. а большой радиус – R. Определить радиус кривизны циклоиды в верхней точке (рис. 4.7). [
]
4
.24. По вертикальной цилиндрической проволочной спирали с постоянной скоростью v соскальзывает бусинка (рис. 4.8). Определить ускорение бусинки, если радиус витков спирали равен R. а шаг спирали – h. [
]
4.25. Тело движется по окружности радиуса R со скоростью, которая зависит от времени по закону: v (t ) = kt. Найти зависимость полного ускорения от времени. [
]
4
.26. Через какое время встречаются минутная и часовая стрелки часов? [? 1,09 ч ? 65,5 мин]
4.27. Зависимость координат движущегося тела от времени имеют вид: x (t ) = R sin?t ; y (t ) = R cos?t. Определить траекторию движения и ускорение тела. [окружность радиусом R ; 
]
4.28. Плоский обруч движется так, что в некоторый момент времени скорости концов диаметра AB лежат в плоскости обруча, перпендикулярны AB и равны v A и v B . Определить скорости точек C и D. если CD тоже диаметр перпендикулярный AB и эти скорости тоже лежат в плоскости обруча (рис. 4.9).
[
]
4.29. Точка начинает двигаться по окружности радиуса R с тангенциальным ускорением a . Как зависит от времени угол между векторами скорости и полного ускорения? [
]
4.30. При движении точки по окружности радиуса R центростремительное ускорение зависит от пройденного пути по закону a ц = ?S. где ? – известная постоянная. Определить зависимость скорости точки от времени (v o = 0). [
]
4.31. Тело брошено со скоростью v o под углом ? к горизонт. Определить среднюю за время полета угловую скорость вращения вектора скорости тела.
[
]
4
.32. Направление вращения Земли вокруг своей оси совпадает с направлением ее вращения вокруг Солнца. Сколько суток было бы в году, если бы Земля вращалась вокруг своей оси в противоположную сторону? [367 суток]
4.33. Внешний радиус подшипника равен R. а радиус шариков – r. Подшипник катится по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью v (рис. 4.10). При этом внутренняя втулка не вращается. Определить угловую скорость вращения шариков. Проскальзывания нет. [
]
4.34. Тело начинает двигаться по окружности из состояния покоя с равномерно возрастающей скоростью. Сколько оборотов сделает тело к моменту, когда центростремительное ускорение станет равно тангенциальному? [
0,8 оборота]
5. Относительное движение. Движение со связями.
5.1. Рыбак переправляется через реку, выдерживая курс перпендикулярно берегу. На какое расстояние снесет лодку, если ширина реки 100 м, а скорость лодки относительно воды вдвое больше скорости течения реки? [50 м]
5
.2. Рыбак переправляется через реку шириной 100 м. Скорость лодки относительно воды вдвое меньше скорости течения. На какое минимальное расстояние относительно берега может снести лодку? Какое расстояние при этом пройдет лодка? [176 м; 200 м]
5.3. Корабль выходит из пункта A под углом ? к линии берега. Одновременно из пункта B выпускают торпеду (рис 5.1). Под каким углом к берегу необходимо направить торпеду, чтобы она поразила корабль? Скорость корабля v 1 скорость торпеды v 2. [
]
5.4. Человек находиться на расстоянии S от прямой дороги, по которой едет автобус со скоростью v. В тот момент, когда человек заметил автобус, расстояние между ними было равно L. С какой наименьшей скоростью должен бежать человек, чтобы успеть встретиться с автобусом? [
]
5.5. Поезд движется в восточном направлении со скоростью 27 км/ч и пассажиру кажется, что ветер дует с севера. Сохраняя прежнее направление движения, поезд увеличил скорость до 54 км/ч и пассажиру уже кажется, что ветер дует с северо-востока. Определить направление ветра и его скорость. [ветер дует с северо-запада со скоростью ? 10,6 м/с]
5.6. Два корабля плывут навстречу друг другу со скоростями v 1 и v 2. В момент когда расстояние между ними равно L. с одного из кораблей взлетает голубь и летит к другому кораблю. Долетев до него, голубь разворачивается и летит обратно. Вернувшись к первому кораблю, голубь опять разворачивается и летит ко второму и т. д. Какое расстояние пролетит голубь до момента встречи кораблей, если он летает со скоростью v. [
]
5.7. По двум прямым дорогам, угол между которыми равен 60. удаляясь от перекрестка, движутся два автомобиля со скоростями 10 м/с и 20 м/с. В момент t = 0 расстояние между автомобилями равно 300 м. Через какое время расстояние между ними удвоится? [
]
5
.8. Две частицы движутся со скоростями v 1 и v 2 по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения. В момент t = 0 частицы находились на расстояниях L 1 и L 2 от перекрестка. Через какое время расстояние между частицами будет минимальным? [
]
5.9. Два тела равномерно движутся по прямым, пересекающимся под углом ? (рис. 5.2). Скорости тел одинаковы и равны v. В момент t = 0 тела находились в точках O 1 и O 2. Расстояние O 1 O 2 = L. Через какое время расстояние между телами будет наименьшим и каково это расстояние? [
]
5.10. Теплоход движется по озеру параллельно берегу со скоростью v 1 = 25 км/ч. От берега отходит катер со скоростью v 2 = 40 км/ч. Через какое наименьшее время катер сможет догнать теплоход, если в начальный момент теплоход и катер находились на одной нормали к берегу и расстояние между ними было S = 1 км? [0,032 ч]
5.11. Мальчик ростом 1,5 м бежит со скоростью 3 м/с под фонарем, который висит на высоте 3 м. С какой скоростью перемещается тень от головы мальчика? [6 м/с]
5
.12. Луч света падает на экран ОА, который вращается вокруг оси O (рис. 5.3). Луч образует на экране зайчик С. Угловая скорость вращения экрана ?, угол между лучом и горизонтом ?. С какой скоростью перемещается зайчик по экрану, когда экран проходит вертикальное положение? Расстояние OC в этот момент равно l. [
]
5.13. Платформа перемещается на двух круглых одинаковых катках (рис. 5.4). На сколько передвинулся каждый каток, если платформа передвинулась на 10 см? [5 см]
5
.14. Доска длиной l одним концом лежит на цилиндре, а другой конец удерживается человеком (рис. 5.5). Человек начинает толкать доску вперед, вследствие чего цилиндр катится без проскальзывания. Какой путь должен пройти человек, чтобы дойти до цилиндра? [2l ]
5
.15. Снаряд, летящий горизонтально со скоростью v. разрывается на большое число осколков, разлетающихся во все стороны с одинаковыми скоростями. Найти скорость осколков, летящих вертикально относительно земли, если максимальная скорость осколков равна u. [
]
5.16. Прожектор O установлен на расстоянии l = 100 м от стены AB и бросает светлое пятно на стену (рис. 5.6). Прожектор вращается, делая один оборот за Т = 20 с. Написать уравнение движения x (t ) светлого пятна по стене. За начало отсчета принять момент, когда пятно находится в точке C .
[
]
5
.17. Три черепахи находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a . Они начинают одновременно двигаться с постоянными по модулю скоростями v. причем первая черепаха все время держит курс на вторую, вторая – на третью, а третья – на первую. Через какое время черепахи встретятся, и какое расстояние они пройдут до встречи? [
]
5.18. Прямая y = 2x начинает двигаться со скоростью v вдаль оси y. С какой скоростью движется точка пересечения этой прямой с осью x. [v x = v /2]
5.19. Две прямые, пересекающиеся под углом ?, движутся с одинаковыми по модулю скоростями v в направлениях, перпендикулярных сами себе (рис 5.7). С какой скоростью движется точка их пересечения? [
]
5.20. Решить задачу № 5.19, если скорости прямых направлены как на рис. 5.8.
[
]
5.21. Из двух точек, расположенных на одной высоте и на расстоянии l друг от друга, одновременно бросают два тела: одно вертикально вверх со скоростью v 1 ; другое горизонтально со скоростью v 2 в направлении первого тела. Найти наименьшее расстоянии между телами. [
]
5.22. Из точки B бросают камень в горизонтальном направлении BC с начальной скоростью v o = 10 м/с. Одновременно из точки A. лежащей на 10 м выше горизонтали BC начинает свободно падать второй камень (рис. 5.9). Через какое время расстояние между камнями будет минимальным и чему оно равно? Расстояние BC = 10 м. [1 c; 10 м]
5
.23. Из одной и той же точки одновременно бросают два камня с одинаковыми начальными скоростями v o = 10 м/с: один – вертикально вверх, другой – под углом ? = 30° к горизонту. Определить расстояние между камнями через t = 2 с после броска. [20 м]
5.24. По грязной дороге едут друг за другом две машины со скоростью v. При каком минимальном расстоянии между машинами грязь, срывающаяся с колес передней машины, не будет попадать на заднюю? Считать, что в момент отрыва скорость комков грязи равна скорости соответствующей точки колеса. Радиус колеса считать малым по сравнению с дальностью полета грязи. [
]
5.25. Магнитофонная лента сматывается с бобины с постоянной скоростью v. Найти зависимость радиуса ленты на бобине от времени, если начальный радиус R o. а толщина ленты d l ). [
. Указание: скорость второго тела направлена вдоль нити и по касательной к окружности]
5.31. Горизонтальная платформа движется со скоростью v. По платформе, с одинаковыми относительно платформы скоростями u. движутся два тела. Скорость одного из них по направлению совпадает с вектором v. а второго – перпендикулярна вектору v. Определить угол между скоростями тел в неподвижной системе отсчета.
[
]
5
.32. За катером, движущимся со скоростью 30 км/ч, едет спортсмен на водных лыжах (рис. 5.13). Углы между векторами скоростей катера и лыжника и тросом равны: ? = 150°; ? = 60°. Определить скорость лыжника. [52 км/ч]
5.33. Груз поднимается при помощи двух неподвижных блоков. Определить скорость груза в момент, когда угол между нитями равен ?, если нити вытягиваются с одинаковыми и постоянными скоростями v (рис. 5.14). []
5
.34. Груз поднимается при помощи двух неподвижных и одного подвижного блоков. Определить скорость груза в момент, когда угол между нитями равен а, если нити вытягиваются со скоростями u и v (рис. 5.15). [
. Указание: сумма проекций среднего блока на левую и правую нити 
равна скорости убывания длины нити между крайними блоками]
5
.35. Две расположенные рядом платформы вращаются в противоположных направлениях с одинаковыми угловыми скоростями ? = 1 с –1. В точках A 1 и A 2 стоят два наблюдателя. Известно: O 1 O 2 = 5 м; O 1 A 1 = O 2 A 2 = 2 м. Найти скорость наблюдателя A 1 относительно наблюдателя A 2 в указанный на рис. 5.16 момент времени. [1 м/с. Указание: в системе наблюдателя A 2 весь окружающий мир вращается вокруг него с угловой скоростью ? по часовой стрелке]
5.36. Стержень AB приводится в движение нитью BC (рис. 5.17). Когда стержень проходит вертикальное положение скорость точки C равна v. а угол между нитью и стержнем – ?. Найти скорость точки B в этот момент. [
]
5
.37. Горизонтальная платформа равномерно вращается вокруг вертикальной оси. По краю платформы с постоянной скоростью идет человек A (рис. 5.18). Ускорение человека относительно платформы равно 0,5 м/с 2. а переносное ускорение точек края платформы – 2 м/с 2. Найти абсолютное ускорение человека. [4,5 м/с 2 ]
5
.38. Горизонтальный стержень длиной l вращается вокруг вертикальной оси O с угловой скоростью ? (рис 5.19). На движущийся конец стержня насажено колесо радиусом r. Угол между осью колеса и стержнем равен ?, а само колесо катится по горизонтальному столу. Найти угловую скорость вращения колеса. [
. Указание: если бы колесо не вращалось, то точки колеса, соприкасающейся с поверхностью стола, была бы равна 
. Разложим эту скорость на составляющие: v 1 – параллельная плоскости колеса; v 2 – параллельная оси колеса (рис.). За счет вращения сила трения гасит составляющую скорости v 1 .]
5
.39. Колесо радиусом R катится без проскальзывания с постоянной скоростью v по горизонтальной поверхности. Приняв положение точки A на рис. 5.20 за начальное, написать зависимости ее координат X A и Y A от времени.
[
. Указание: движение точки A можно представить как сумму поступательного движения с постоянной скоростью v и вращательного вокруг центра колеса с угловой скоростью v /R .]
5.40. Шар может свободно вращаться вокруг горизонтального стержня OA. который, в свою очередь, вращается с угловой скоростью ?o вокруг вертикальной оси (рис. 5.21). Определить угловую скорость вращения шара, если проскальзывания нет. [
. Указание. прямая, проходящая через точку O и точку касания шара с поверхностью является мгновенной осью вращения.]
По материалам сайта: http://gigabaza.ru